Ok

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l'utilisation de cookies. Ces derniers assurent le bon fonctionnement de nos services. En savoir plus.

11/12/2016

Du côté de chez Henri Poincaré et sa sphère d'homologie

 A propos de Henri  Poincaré, ci-après ce qu'énonce John Stillwell :'

" He made this counterexample by gluing together two solids bounded by surfaces of genus 2, with a certain matching of canonical curves. From his construction he computed generators and relations for the fundamental group πand he showed that the homology H is trivial by abelianising π (though the abelianised group seem to collapse by accident). Finally, he proved that the constructed π is not trivial by showing that it has ℑ as a homomorphic image. The appearance of the icosahedral group ℑ at this point is a complete surprise, because Poincaré construction does not have any obvious symmetry.

Et d'accentuer:"Poincaré's construction is quite unmotivated and mysterious. The homology sphere is result of pasting together two handlebodies of genus 2- that is , "filled" surfaces of genus 2 according- to a scheme indicated in figure 1. (Part of the mystery is how the homology sphere which is an exceptionnally symmetric object, arises from this asymmetric diagram.) By some miracle, π of the resulting manifolds  turn out to have generators a,b and defining relations a ....."

Et Jérémy Gray,de reprendre le raisonnement  plus circonspect de Gordon, mais qui selon nous ne tient guère  la route  et ne possède  aucune once de vérité :
"It is clear that in order to arrive at his example of a nonsimply-connected homology sphere, and also in investigating his question.Poincaré must have done a good  deal of experimentation with Heegaard diagrams, of genus 2 and presumably higher genus also.In particular, he must have come across many nonstandard diagrams of  S³ and realized that they did indeed represent S³. Thus he must have been aware that such diagrams can be quite complicated."

Mais également Jérémy Gray d'ajouter astucieusement  ilico presto :

"But it is possible to wonder if there was not a more  direct path open to Poincaré etc "

L'observation est pertinente et de notre point de vue, la réponse est assurément oui,car la possibilité de se fonder sur l'expérimentation afin d'engendrer un tel objet relève d'une vue impossible de l'esprit  et elle est d'une probabilité nulle.

 Attelons nous d'abord aux propos de  John Stillwell, car à notre avis, il s'est fourvoyé en formulant à l'emporte pièce de telles assertions.S'il lui était venu à l'esprit de s'interroger sur le cheminement qui amena le génial Poincaré  à concevoir ce joyau absolument singulier, merveilleux et polymorphe qu'est sa sphère homologique exhibant ainsi l'unité des mathématiques;il aurait donc pu faire l'économie de telles allégations,  en faisant montre d'un peu plus d'humilité . Hélas!!!

 Mieux sur le plan épistémologique, une once de culture philosophique lui aurait éviter d'ânonner de tels jugements de valeur ,en remarquant simplement ,que la sphère d'homologie évoque  peu ou prou la problématique Platon versus  Aristote quant à la genèse  des objets  ou des idées  mathématiques.De surcroît , il appert qu'il eût fallu  au préalable révéler l'ontologie de ladite sphère,avant qu' on envisageât ses différentes  morphologies à symétrie triviale.

Il serait polichinelle de spécifier à ceux qui font preuve de culture mathématique, que Henri Poincaré  a été non seulement le mathématicien  fondateur de la topologie combinatoire (Analysis  Situs), aujourd'hui désignée par  le terme de  topologie algébrique,mais il lui a donné également ses lettres de noblesse. Il faudrait faire preuve d'esprit que nous ne saurions qualifier, pour ne point observer qu'en partant des courbes tracées sur des surfaces,de l'appropriation du théorème de Camille Jordan et de ses travaux  sur les traités de substitutions et des équations algébriques , sans oublier les contributions du mathématicien danois Paul Heegaard,la théorie des fonctions fuschiennes, etc..., qui chemin faisant constituaient de conserve les matériaux où étaient piochées les pierres angulaires inhérentes à la conception de la sphère d'homologie,Poincaré illustrait combien un esprit polycéphale poussant jusqu'à l'extrême sa réflexion  fut capable de faire surgir des eaux troubles de la pensée mathématique ce mystérieux objet qui allait complètement  révolutionner ou revitaliser la weltanschauung ou le paradigme mathématique.

A partir du néant,conscient que "La pensée n’est qu’un éclair au milieu de la nuit. Mais c’est cet éclair qui est tout"   dont il est par ailleurs l'auteur,Poincaré fut  le premier  à  comprendre l'insuffisance  de l'invariance homologique  ou de l'homologie pour discerner les variétés tridimensionnelles.Sachons lui gré de nous avoir introduit le  groupe fondamental en termes de granularité plus fine inhérente aux invariants topologiques, induisant ainsi la construction de sa sphère d'homologie ,qui  loin d'être une construction mystérieuse mais  plutôt est une réponse judicieuse aux questions qu'il s'était tout seul et initialement posées.

Par ailleurs, il ne serait guère  outrecuidant de rappeler que l'unité mathématique citée plus haut est éclairée par le fait que la théorie des groupes,la géométrie différentielle, l'analyse géométrique, l'irruption de la géométrie dans la topologie,par des liens insoupçonnés se sont entremêlées pour à venir à bout d'une interrogation qui était la sienne mais qui est restée presque centenaire  sans réponse,notamment "l'hypersphère est elle la seule variété tridimensionnelle simplement connexe, c'a'd sans aucun trou ?".

Au passage, il nous plait de faire remarquer que l'érudition moderne  commet un crime lèse-majesté en considérant que ladite interrogation ne devrait pas être retenue sous le nom de conjecture de Poincaré. Nous montrerons plus tard l'impertinence  de cette posture  en nous fondant sur le fait que l'acception du concept de conjecture par André Weil est inopérante voire un anachronisme  relativement  au contexte de la formulation de Poincaré.Car l'indécidabilité de la qualification  de l'interrogation de Poincaré  par le signifié conjecture est à tout au plus  manifeste eu égard à cette acception,mais sa qualification par la désignation de conjecture possède  à tout le moins plus de soubassement avéré que celle de Fermat annonçant qu'il ne dispose pas assez de place  pour en écrire la démonstration.

Nous pensons qu'il serait judicieux que les mathématiciens  français se gardent de répéter par psittacisme que la conjecture de Poincaré n'en est  pas une, puisque qu"il s'agit d'un Argumentum ad novitatem (donner raison aux arguments les plus nouveaux) et que  c'est ainsi que d'aucuns  construisent des mythes ou des légendes  à partir des controverses ,de leur vision du monde et de leur bon vouloir.Des exemples sont légion en sciences humaines précisément en histoire  et en Égyptologie lorsqu'on prétend que la mathématique égyptienne serait empirique "  car depuis des siècles les mathématiciens se perdent, en vain, en conjectures pour retrouver les prétendues recettes empiriques qui auraient conduit à la rigueur de la mathématique égyptienne ; l'empirisme vulgaire serait donc moins accessible que la théorie." Cheik Anta Diop. Heureusement, que la mathématique par son essence  est  plus à l'abri de telles déviations et de tels abus.                                                                                                                              

De nos jours,la réponse  à ladite interrogation  est bien connue à travers les techniques fondées sur le flot de Ricci-Hamilton, valorisées  par le mathématicien américain Hamilton, et exploitées excellemment  à fond par le puissant et humble mathématicien russe du nom de Perelman, lequel a surpris la communauté mathématique en publiant de manière hétérodoxe ses travaux  inhérents à la question.Toutefois, ce  n'est pas ici l'objet d'expliciter cette élogieuse  contribution car "elle risquerait  de nous amener très loin" pour reprendre l'assertion faite par Poincaré à  la fin de  son interrogation op-citée dans  son Cinquième complément à l'Analysis Situs.

Cependant, il nous plait pour la petite histoire de rappeler ce qui suit. En effet, Perelman ayant saisi tout le potentiel du théorème  de Hamilton quant à la résolution de la conjecture (Thurston) de géométrisation qui réduit l'étude de la topologie des variétés tridimensionnelles à des questions de géométrie et qui met en exergue la conjecture de Poincaré comme cas particulier; il sollicita le mathématicien américain, afin de travailler de conserve et de concert pour venir à bout de la dite énigme.Hamilton lui opposa une fin de non de recevoir à travers un silence méprisant. Perelman décida de poursuivre tout seul sa quête.Nous avons mille raisons de ne point comprendre l'attitude  de Hamilton lequel pourtant était réputé très affable et  très élégant avec la gente féminine selon les rumeurs  bon train.  A titre de comparaison, nous sommes  obligés de nous émerveiller davantage du  comportement de feu le Professeur Jean Dieudonné lorsqu'il décida d'être le scribe de son élève feu Alexander Grothiendieck pour le grand bien en  particulier de la géométrie algébrique et pour  le progrès  des mathématiques en général.

La chute de  la petite histoire:de son travail solitaire Pereleman obtint la médaille Fields et le prix de l'Institut Mathématiques Clay d'une valeur de un million de dollars.Il déclina les deux récompenses,tout en spécifiant chemin faisant,que  Hamilton avait autant droit à une part du gâteau.Quel coup de maestro! De l'élégance en réponse à une attitude on ne peut plus inélégante.

Cela dit, revenons à notre préoccupation.Que l'on ne sache pas ou ne comprenne pas comment Poincaré s'était pris est une chose, mais que l'on profère des assertions non fondées en  est une autre, une forme discourtoise d'arrogance doublée d'une prétention qui a pour effet de ternir une contribution fondamentale ayant permis à la discipline de faire  un saut qualitatif dans la compréhension de ce qu'est un trou en topologie  de faibles ou basses dimensions et de grandes dimensions,  tout en gardant  encore certains mystères relativement à la dimension quatre, car on ne sait pas  si une variété  de  dimension quatre est toujours difféomorphe  à la sphère de dimension quatre.

Nous montrons que le construit  de Poincaré est bel et bien une preuve de virtuosités mathématiques qui n'a guère échappée  à  Dehn, Helmuth Kneser,Weber  et Seifert , mais surtout W. Threlfall et H.Seifert qui en général ne se sont jamais essayés aux déclarations sibyllines  de John Stillwell , bien que leurs contributions furent  de très loin plus  grandes dans le champ d'investigation sous-jacent.

 

Prof David.A Johnson

david.johnson@mailhec.com

 

Écrire un commentaire