Poincare's homology sphere. La Sphere d'homologie de Poincaré.

 A propos de Henri  Poincaré, ci-après ce qu'énonce John Stillwell :'

" He made this counterexample by gluing together two solids bounded by surfaces of genus 2, with a certain matching of canonical curves. From his construction he computed generators and relations for the fundamental group πand he showed that the homology H is trivial by abelianising π (though the abelianised group seem to collapse by accident). Finally, he proved that the constructed π is not trivial by showing that it has ℑ as a homomorphic image. The appearance of the icosahedral group ℑ at this point is a complete surprise, because Poincaré construction does not have any obvious symmetry.

Et d'accentuer:"Poincaré's construction is quite unmotivated and mysterious. The homology sphere is result of pasting together two handlebodies of genus 2- that is , "filled" surfaces of genus 2 according- to a scheme indicated in figure 1. (Part of the mystery is how the homology sphere which is an exceptionnally symmetric object, arises from this asymmetric diagram.) By some miracle, π of the resulting manifolds  turn out to have generators a,b and defining relations a ....."

Et Jérémy Gray,de reprendre le raisonnement  plus circonspect de Gordon, mais qui selon nous ne tient guère  la route  et ne possède  aucune once de vérité :
"It is clear that in order to arrive at his example of a nonsimply-connected homology sphere, and also in investigating his question.Poincaré must have done a good  deal of experimentation with Heegaard diagrams, of genus 2 and presumably higher genus also.In particular, he must have come across many nonstandard diagrams of  S³ and realized that they did indeed represent S³. Thus he must have been aware that such diagrams can be quite complicated."

Mais également Jérémy Gray d'ajouter astucieusement  ilico presto :

"But it is possible to wonder if there was not a more  direct path open to Poincaré etc "

L'observation est pertinente et de notre point de vue, la réponse est assurément oui,car la possibilité de se fonder sur l'expérimentation afin d'engendrer un tel objet relève d'une vue impossible de l'esprit  et elle est d'une probabilité nulle.

 Attelons nous d'abord aux propos de  John Stillwell, car à notre avis, il s'est fourvoyé en formulant à l'emporte pièce de telles assertions.S'il lui était venu à l'esprit de s'interroger sur le cheminement qui amena le génial Poincaré  à concevoir ce joyau absolument singulier, merveilleux et polymorphe qu'est sa sphère d'homologie  exhibant ainsi l'unité des mathématiques;il aurait donc pu faire l'économie de telles allégations,  en faisant montre d'un peu plus d'humilité . Hélas!!!

 Mieux sur le plan épistémologique, un peu de culture philosophique lui aurait éviter d'ânonner de tels jugements de valeur ,en remarquant simplement ,que la sphère d'homologie évoque  peu ou prou la problématique Platon versus  Aristote quant à la genèse  des objets  ou des idées  mathématiques.De surcroît , il appert qu'il eût fallu  au préalable révéler l'ontologie de ladite sphère,avant qu' on envisageât ses différentes  morphologies à symétrie triviale.

Il serait polichinelle de spécifier à ceux qui font preuve de culture mathématique, que Henri Poincaré  a été non seulement le mathématicien  fondateur de la topologie combinatoire (Analysis  Situs), aujourd'hui désignée par  le terme de  topologie algébrique,mais il lui a donné également ses lettres de noblesse. Il faudrait faire preuve d'esprit que nous ne saurions qualifier, pour ne point observer qu'en partant des courbes tracées sur des surfaces,de l'appropriation du théorème de Camille Jordan et de ses travaux  sur les traités de substitutions et des équations algébriques , sans oublier les contributions du mathématicien danois Paul Heegaard,la théorie des fonctions fuschiennes, etc..., qui chemin faisant constituaient de conserve les matériaux où étaient piochées les pierres angulaires inhérentes à la conception de la sphère d'homologie,Poincaré illustrait combien un esprit polycéphale poussant jusqu'à l'extrême sa réflexion  fut capable de faire surgir des eaux troubles de la pensée mathématique ce mystérieux objet qui allait complètement  révolutionner ou revitaliser la weltanschauung ou le paradigme mathématique.

 A partir du néant, mais conscient que "La pensée n’est qu’un éclair au milieu de la nuit. Mais c’est cet éclair qui est tout" énoncé  dont il est par ailleurs l'auteur;Poincaré fut  le premier  à  comprendre l'insuffisance  de l'invariance homologique  ou de l'homologie pour discerner les variétés tridimensionnelles.Sachons lui gré de nous avoir introduit le  groupe fondamental en termes de granularité plus fine inhérente aux invariants topologiques, induisant ainsi la construction de sa sphère d'homologie ,qui  loin d'être une construction mystérieuse mais  plutôt est une réponse judicieuse aux questions qu'il s'était tout seul et initialement posées.

Par ailleurs, il ne serait guère  outrecuidant de rappeler que l'unité mathématique citée plus haut est éclairée par le fait que la théorie des groupes,la géométrie différentielle, l'analyse géométrique, l'irruption de la géométrie dans la topologie,par des liens insoupçonnés se sont entremêlées pour à venir à bout d'une interrogation qui était la sienne mais qui est restée presque centenaire  sans réponse, notamment "l'hypersphère est elle la seule variété tridimensionnelle simplement connexe,ou celle dont le groupe de fondamental se réduit à l'unité? littéralement, est elle la seule variété tridimensionnelle ne possédant aucun trou ou fortement contractile ?"

On peut l'énoncer autrement en disant: Si M est une variété tridimensionnelle close dont le groupe de Poincaré est trivial alors M est elle difféomorphe à S³?

Au passage, il nous plait de faire remarquer que l'érudition moderne  commet un crime lèse-majesté en considérant que ladite interrogation ne devrait pas être retenue sous le nom de conjecture de Poincaré. Nous montrerons plus tard l'impertinence  de cette posture  en nous fondant sur le fait que l'acception du concept de conjecture par André Weil est inopérante voire un anachronisme  relativement  au contexte de la formulation de Poincaré.Car l'indécidabilité de la qualification  de l'interrogation de Poincaré  par le signifié conjecture est à tout au plus  manifeste eu égard à cette acception,mais sa qualification par la désignation de conjecture possède  à tout le moins plus de soubassement avéré que celle de Fermat annonçant qu'il ne dispose pas assez de place  pour en écrire la démonstration.

Nous pensons qu'il serait judicieux que les mathématiciens  français se gardent de répéter par psittacisme et par la " foi du charbonnier " que la conjecture de Poincaré n'en est  pas une, puisque qu"il s'agit d'un Argumentum ad novitatem (donner raison aux arguments les plus nouveaux) et que  c'est ainsi que d'aucuns  construisent des mythes ou des légendes  à partir des controverses ,de leur vision du monde et de leur bon vouloir.Des exemples sont légion en sciences humaines précisément en histoire  et en Égyptologie lorsqu'on prétend que la mathématique égyptienne serait empirique "  car depuis des siècles les mathématiciens se perdent en vain, en conjectures pour retrouver les prétendues recettes empiriques qui auraient conduit à la rigueur de la mathématique égyptienne, l'empirisme vulgaire serait donc moins accessible que la théorie." Cheik Anta Diop. Heureusement, que la mathématique par son essence  est  plus à l'abri de telles déviations et de tels abus.                                                                                                                              

De nos jours,la réponse  à ladite interrogation  est bien connue à travers le flot de Ricci-Hamilton, inventé  par le mathématicien américain Hamilton dont la motivation était de définir une évolution d'un tenseur métrique analogue  à celle des fonctions définies par l'équation de la chaleur. En effet, le flot de Ricci est moyen par lequel on peut prendre une variété riemannienne quelconque et lisser sa géométrie afin qu' elle semble plus symétrique.  De manière informelle nous pouvons le décrire  comme un processus d'étirement de la métrique g dans les directions où la courbure de Ricci est négative  et  une contraction de la métrique dans  des directions où courbure de Ricci est positive.Plus la courbure est forte plus l'étirement ou la contraction de la courbure est rapide. Bref, le flot de Ricci-Hamilton décrit une sorte de processus de diffusion qui propage plus régulièrement  voire de façon  homogène la courbure associée à une métrique riemannienne  relativement à une variété M. Plus formellement, c'est un système parabolique  d'équations différentielles partielles qui possède une solution unique à tout le moins dans un intervalle temporel fini t appartenant à [0,T] si M est une variété riemannienne compacte de dimension n avec une métrique g fixée.

C'est ce qu'exploitera excellemment  à fond le puissant et humble mathématicien russe du nom de Perelman, lequel  surprit  la communauté mathématique en publiant de manière hétérodoxe ses travaux  inhérents à la question.Toutefois, ce  n'est pas ici l'objet d'expliciter cette élogieuse  contribution car "elle risquerait  de nous amener très loin" pour reprendre l'assertion faite par Poincaré à  la fin de  son interrogation op-citée dans  son Cinquième complément à l'Analysis Situs.

Cependant, il nous plait pour la petite histoire de rappeler ce qui suit. En effet, Perelman ayant saisi tout le potentiel du théorème  de Hamilton, annonciateur de son programme ,quant à la résolution de la conjecture de géométrisation (Thurston) qui de surcroît réduit l'étude de la topologie des variétés tridimensionnelles à des questions de géométrie et qui met en exergue la conjecture de Poincaré comme cas particulier.En l’occurrence, il est intéressant de noter que  Perelman imagina une inédite belle façon d'utiliser dans le programme de Hamilton le concept  de simple connexité afin de simplifier  sa démonstration de la conjecture de Poincaré.Soulignons à ce stade, que pour introduire l'approche de Hamilton, il est besoin de reformuler la conjecture de Poincaré  comme une assertion ou un énoncé qui relie la topologie à la géométrie de Riemann, savoir qu'une variété tridimensionnelle simplement connexe possède une métrique de Einstein. Mentionnons ici qu'il n'est guère superfétatoire de mettre en exergue que Perelman  sollicita le mathématicien américain, afin de travailler de conserve et de concert pour venir à bout de la  conjecture de géometrisation, Hamilton lui opposa une fin de non de recevoir à travers un silence méprisant. Perelman décida de poursuivre tout seul sa quête.Nous avons mille raisons de ne point comprendre l'attitude  de Hamilton lequel pourtant était réputé très affable et  très élégant avec la gente féminine selon les rumeurs  bon train.  A titre de comparaison, nous sommes  obligés de nous émerveiller davantage du  comportement de feu le Professeur Jean Dieudonné lorsqu'il décida d'être le scribe de son élève feu Alexander Grothiendieck pour le grand bien en  particulier de la géométrie algébrique et pour  le progrès  des mathématiques en général. De plus, nous ne pouvons  nous empêcher à titre de leçon, d'étayer davantage l’honnêteté  et l'humilité de feu le Professeur Jean Dieudonné en rappelant ses propres  propos  " J'ai eu Grothendieck comme élève , aux débuts de ses études, mais il était beaucoup fort que moi, au bout de quelques temps, c'est plutôt moi qui étais son élève '' in Hommes de Sciences page 101.

La chute de  la petite histoire:de son travail solitaire Pereleman obtint la médaille Fields et le prix de l'Institut Mathématiques Clay d'une valeur d'un million de dollars.Il déclina les deux récompenses,tout en spécifiant chemin faisant,que  Hamilton avait autant droit à une part du gâteau.Quel coup de maestro! De l'élégance en réponse à une attitude on ne peut plus inélégante.

Cela dit, revenons à notre préoccupation.Que l'on ne sache pas ou ne comprenne pas comment Poincaré s'était pris est une chose, mais que l'on profère des assertions non fondées en  est une autre, une forme discourtoise d'arrogance doublée d'une prétention qui a pour effet de ternir une contribution fondamentale ayant permis à la discipline de faire  un saut qualitatif dans la compréhension de ce qu'est un trou en topologie  de faibles ou basses dimensions et de grandes dimensions,  tout en gardant  encore certains mystères relativement à la dimension quatre, car on ne sait pas  si une variété  de  dimension quatre est toujours difféomorphe  à la sphère de dimension quatre.

 Le construit  de Poincaré est bel et bien une preuve de virtuosités mathématiques qui n'a guère échappée  à  Dehn, Helmuth Kneser,Weber  et Seifert , mais surtout W. Threlfall et H.Seifert qui en général ne se sont jamais essayés aux déclarations sibyllines  de John Stillwell , bien que leurs contributions furent  de très loin plus  grandes dans le champ d'investigation sous-jacent.

 

David A.Johnson

HEC Paris (E. 81)

Ancien Directeur à l'ESC Clermont

Professeur des Universités

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De la nécessité du stratégique par sa suprématie.

 

 

L’humanité ne doit pas se faire par l’effacement des uns au profit des autres. (Feu le Pr Cheikh Anta Diop). C’est  bien de cela dont il s’agit.

 

« Maintenant que les jaunes, en particulier les japonais font leurs preuves dans l’ordre scientifique, malgré la prétendue infériorité de leurs mensurations crâniennes, le racisme dans cette direction tend à devenir insipide. C’est pour cela qu’il prend de plus en plus un caractère bipolaire. Au dernier conseil de cabinet de Juillet 1979, le gouvernement  français comme objectif de rattraper le Japon. »  Cheikh Anta Diop   (In Civilisation ou  Barbarie 1981)

 

Effectivement, il n’est pas sans intérêt de rappeler une des  prouesses du leuco-centrisme qui, sans ambages, avec emphase, orgueil, étroitesse d’esprit doctrinal, dédain, et une anaphylaxie  mongo(l)-dermique, a fortiori négro-dermique ; par la voix d’un de ses doctes le sieur Ernest Renan écrivait  « La nature a fait une race d’ouvriers. C’est la race chinoise, d’une dextérité de main merveilleuse, sans presque aucun sentiment d’honneur, gouvernez-la avec justice en prélevant d’elle pour le bienfait d’un tel gouvernement un ample douaire au profit de la race conquérant, elle sera satisfaite ; une race de travailleurs de la terre c’est le nègre, soyez pour lui bon et humain, et tout sera dans l’ordre, une  race de maîtres et de soldats, c’est  la race européenne. Que chacun fasse ce pour quoi il est fait  et tout ira bien ». In Réforme  intellectuelle et morale 1871.

 

Lorsque  Ernest Renan se retourne dans sa tombe !!!!

Le général Giap et les guerres du Vietnam

En effet, dès lors qu’il s’agissait de la logistique et de la tactique, nous réussissons tout ce que nous avons fixé de faire. Au plus fort de la guerre, l’armée était capable de déplacer des millions de soldats dans l’année à l’intérieur et à l’extérieur du Vietnam, de les nourrir, les habiller, les fournir en armes et munitions, généralement les soutenir mieux qu’une quelconque armée  n’aurait jamais pu être soutenue sur un terrain d’opération. Sur le champ de bataille lu-même, l’armée était imbattable. Engagement après engagement, les forces du Viêt-Cong et de l’armée du nord Vietnam étaient repoussées avec de lourdes et terribles pertes. Néanmoins, à la fin c’était le nord Vietnam et non pas les Etats-Unis qui sortit victorieux. Comment pourrions-nous avoir si bien réussi et pourtant si lamentablement échoué ? Ainsi, s’interrogeait Col Harry G Summers Jr In On strategy (Novate CA  Presido Press 1982).

En dépit, d’avoir la plus grande armée de l’Asie du sud-est, le Vietnam du nord ne rivalisait pas avec le Vietnam du sud, aussi longtemps, que celui-ci était soutenu par la  plus puissante nation militarisée et industrielle de par le monde.

Le Vietnam du sud et son allié les Etats-Unis furent battus non par des ressources supérieures mais par une stratégie manifestement supérieure.

Le Vietnam du nord accomplissait ce que Sun Tzu proclamait être la forme la plus élevée d’une victoire, faire abandonner l’ennemi.

L’acteur principal de la formulation de la stratégie militaire du Vietnam du nord était le général Vo Nguyen Giap. En 1944, Giap devint le dirigeant des forces de la guérilla Vietminh. Il était le commandant en chef de l’armée du Vietnam du nord jusqu’en 1974 et Ministre de la défense jusqu’en 1980. La stratégie de Giap était fondée sur la théorie de la guerre révolutionnaire en trois phases du chinois Mao Tse Tung « votre attention sieur Ernest Renan » : d’abord une résistance passive au cours de laquelle le soutien politique est mobilisé, ensuite une guérilla destinée à affaiblir l’ennemi et bâtir  une force militaire, et finalement la contre-offensive générale.

En 1954, la victoire brillante de Giap sur les français à Dien Bien Phu mettait en exergue la pertinence de ladite stratégie contre le Vietnam du sud et son allié US,  l’approche était analogue.

Et le Général Giap de poursuivre : notre stratégie était de mener une bataille qui allait durer longtemps. Seule une guerre à long terme pouvait nous amener à utiliser nos cartes maitresses politiques afin  de surmonter notre matériel et pour transformer notre faiblesse en force.

Consolider et accroître nos forces était le principe auquel nous adhérions, nous nous  contentions d’attaquer lorsque le succès était certain, en refusant de livrer une bataille susceptible de nous faire encourir des pertes.

Il est important de faire observer que la stratégie était construite sur la ressource pour laquelle les communistes avaient une supériorité écrasante, leur volonté de se battre, comme le premier Ministre Pham Van Don l’expliquait « les Etats-Unis sont la nation la plus puissante sur terre, mais les Américains n’aiment pas les guerres d’usure et sans vainqueur, ni vaincu. …. Nous pouvons leur survivre et nous pouvons gagner à la fin ».

Un engagement militaire limité et des comédies de pourparlers à Paris aidèrent le Vietnam du nord à prolonger le conflit ; alors que les efforts diplomatiques pour isoler les Etats-Unis d’autres alliés occidentaux et pour soutenir le mouvement américain pour la paix accélérèrent l’effondrement de  la volonté de gagner.

L’efficacité de la réponse américaine était restreinte par deux incertitudes majeures : quels étaient les objectifs et qui était l’ennemi ?

Etait-ce le rôle des Etats-Unis de soutenir le régime du Vietnam du sud, de combattre le terrorisme Viêt-Cong, infliger une défaite militaire au Vietnam du Nord ou combattre le communisme mondial ?

Le déficit d’unanimité sur les objectifs se traduisait en confusion  quant à l’identification de l’ennemi, et si la guerre d’envergure militaire ou politique.

Un conflit d’avis et un changement de l’opinion politique et publique ont été fatals aux Etats-Unis quant à la conception d’une stratégie cohérente à long terme.

La cohérence et la suprématie de la stratégie du Vietnam du nord lui permettaient de survivre aux erreurs d’implémentation. Giap fit à la hâte le lancement de son offensive générale. A la fois l’offensive de Têt en 1968 et l’offensive de Pâques 1972 furent repoussées et  suivies  de pertes lourdes. En 1974, Giap reconnut que le scandale de Watergate avait si affaibli la présidence des Etats-Unis, et de guerre lasse, une réponse américaine efficace à une nouvelle offensive  communiste était peu probable.

Le 29 Avril 1975, l’Opération Frequent Wind commençait par évacuer du Vietnam-sud tous les américains qui restaient, et le lendemain matin, les troupes du Vietnam-nord entraient dans le palais présidentiel à Saigon.   Ouf « c’en était fini !!! »

Avant d’en finir avec cette rétrospective stratégique fondée sur les travaux de notre collègue le Pr Robert Grant (In Contemporary Strategy Analysis 6° Edition), il nous sied de rappeler ci-après  son modus operandi inhérent  à la réussite d’une stratégie.

 

  1° Objectifs simples, cohérents et à long terme.

Les efforts des Vietnamiens du nord étaient de s’unifier et se focaliser sur l’objectif ultime la réunification du Vietnam sous le pouvoir communiste  et l’expulsion de l’armée étrangère du sol vietnamien.

Au contraire, les efforts américains sur le territoire vietnamien étaient embrouillés par des objectifs  confus. Les Etats-Unis supportaient-ils un allié en stabilisant l’Asie du sud-est, en s’engageant dans une guerre par procuration contre l’Union Soviétique ou poursuivaient-ils une guerre idéologique contre le monde communiste ?

 

2° Compréhension  profonde de l’environnement concurrentiel.

Giap avait compris son ennemi et les conditions dans lesquelles il les engagerait sur le  champ de  la bataille. Et mieux, il a su apprécier la situation difficilement politique dans laquelle les présidents se trouvaient lorsqu’ils devaient  faire appel au soutien populaire  avant de mener une action à l’étranger.

 

3° Evaluation objective des ressources

La stratégie de Giap était prudemment élaborée pour se protéger  par rapport à son déficit de ressources c'est-à-dire en armes et en équipement, tout en exploitant totalement l’engagement et la loyauté de ses troupes.

 

 4° Implémentation efficace.

Sans une implémentation effective, les stratégies les mieux élaborées ne sont que de vaines paroles, de peu d’efficacité ou de faible  utilité.

La capacité d’atteindre des décisions, une énergie pour les mettre œuvre, une aptitude à développer la loyauté et l’engagement de ses troupes sont autant qui contribuèrent au succès du Général Giap.

Il a conçu une organisation qui permettait une canalisation efficace des ressources, des capacités et des réponses rapides aux changements de l’environnement concurrentiel.

 David A.Johnson

HEC Paris (E. 81)

Ancien Directeur à l'ESC Clermont

Professeur des Universités

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